Другая причина того, что теорема привлекла международную огласку, относится к самому математику. В 2010 году русский затворник отказался от премии в миллион долларов за свое доказательство, которую предложил Институт математики Клея в Кембридже, штат Массачусетс. Очевидно, что для Перельмана математическая красота является не тем, что может быть куплено и оплачено. Изменение наших представлений о Вселенной было ему достаточной наградой.
Математики только начинают искать следствия этого. Астрофизические данные показывают, что наша собственная вселенная является плоской. Тем не менее, в этих альтернативных вселенных малая кривизна не является естественным состоянием. Согласно теореме Перельмана, наша видимо плоская Вселенная представляет собой удивительное исключение.
Если объяснять самыми простыми словами, эта теорема утверждает, что большинство вселенных имеет естественную геометрическую структуру, отличную от той, которую мы изучаем в средней школе. Эти альтернативные вселенные неевклидовы, не плоские. Все это связано с кривизной самого пространства. Существуют различные способы объяснить, что это такое, наиболее математически точно можно сказать, что альтернативные вселенные “гиперболические , или имеют “отрицательную кривизну , а не плоские.
Какие математические факты выдерживают этот высокий стандарт красоты? Немецкий математик Стефан Фридл высказался в пользу теоремы геометризации , доказательство которой было опубликовано только в 2003 году. Теорема, которая произвела сенсацию в математическом мире, делает важный шаг вперед в классификации трехмерных топологических пространств. (Вы можете думать об этих пространствах как возможных альтернативных вселенных.) “Теорема геометризации ,— утверждает Фридл, —“является вещью потрясающей красоты .
Эта теорема была опубликована Роджером А. Джонсоном в 1916 году. Теорема Джонсона об окружности демонстрирует два из основных требований к математической красоте. Во-первых, это удивительно. Окружность того же размера неожиданно возникает в решении. Во-вторых, это просто. Математические понятия, окружности и радиусы, являются базовыми, выдержавшими испытание временем. Тем не менее, теорема Джонсона предстает перед департаментом красоты при всеобщем уважительном молчании. Лучшие теоремы глубоки, содержат много слоев смысла, и открывают вам больше, когда вы узнаете о них больше.
Чтобы ощутить вкус математической красоты, начнем, скажем, со стакана с холодной газировкой. Поставим его на матовую бумагу в три разных места так, чтобы отпечатались три окружности, позаботившись при этом, чтобы все эти три окружности пересеклись в одной точке. Теперь спросите ваших товарищей: насколько большим должен быть один стакан, чтобы охватывать три другие точки пересечения? Кто-нибудь почти всегда предполагает, что только очень большой стакан можно так поставить. А правильный ответ удивляет: нужен такой же стакан! Это совершенно верное решение. (На рисунке изображены два верных решения, в каждом случае окружности, проведенные сплошной линией являются изображениями первых трех отпечатков, а окружность, проведенная пунктиром, является четвертой окружностью, проходящей через три точки пересечения других окружностей.)
В искусстве или литературе, пожалуй, в последние годы красота могла потерять свое значение как стандартного мерила или критерия совершенства, она рассматривается как слишком субъективная или культурно опосредованная. Для математиков, однако, красота как вечная истина никогда не выйдет из моды.
“Красота — первая проверка: в этом мире нет своего места для уродливой математики , — написал британский специалист по теории чисел Годфри Харди в 1941 году.
Математика для школьников и студентов, обучение и образование
Естественная красота математики | Математика, которая мне нравится
Комментариев нет:
Отправить комментарий